Relaciones

Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.

Ejercicio

Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas (par ordenado) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B

Ejemplo

Si A = {2, 3}  y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.

Solución

El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:

                                        A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}

Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:

                                        R1 =  {(2, 1), (3, 1)}

                                        R2 =  {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

                                        R3 =  {(2, 4), (3, 5)}

La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 =  {(x, y) / y = 1}.

La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {(x, y) / x < y}

Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 =  {(x,  y) / y = x + 2}

Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y. Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.


Para enriquecer tus conocimientos puedes visitar: Relaciones y funciones.

Hay distintos tipos de relaciones matemáticas, a continuación les mostraremos algunas de ellas con sus respectivos ejercicios para que el tema que un poco más completo y entendible:

Relaciones Reflexivas y Anti reflexivas

Una relación reflexiva o refleja es una relación binaria R sobre un conjunto A, de manera que todo elemento de A está relacionado consigo mismo. Es decir, para todo x perteneciente al conjunto A, xRx.

En tal caso, se dice que R cumple con la propiedad de reflexividad.

Cuando una relación es lo opuesto a una reflexiva, es decir, cuando ningún elemento de A está relacionado consigo mismo mediante R, entonces decimos que es irreflexiva, antirreflexiva o antirrefleja, lo que denotamos formalmente por: 

Para todo x perteneciente al conjunto A, ¬(xRx).

En este caso, se dice que R cumple con la propiedad de antirreflexividad.

Para saber más acerca de esto da clic en: Relaciones.

Relacion transitiva

 Relación transitiva. R es una relación transitiva en A sí y sólo sí R es una relación en A y cualquiera sean x, y, z pertenecientes a A se verifica que:

Sí x R y Ù y R z, entonces x R z.

En consecuencia:

R es transitiva en A equivale a decir:

R Ì A x A Ù (" x)(" y)(" z) ( x R y Ù y R z Þ x R z)

R no es transitiva en A equivale a decir:

R Ë A x A Ú ($ x)( $ y)($ z) ( x R y  Ù  y R z  Ù   xz).

Ejemplo 

I A es transitiva en A.

Ejemplo

Sea = {2, 4, 6, 3} entonces:

R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)} es transitiva en A.

S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)} no es transitiva en A.

Ejemplo

La relación T = {(x, y) / x Î N, y Î N Ù x |y} es transitiva en N.

En matemáticas, a relación binaria R sobre a sistema X es transitivo si sostiene para todosa, b, y c en X, eso si a se relaciona con b y b se relaciona con c, entonces a se relaciona con c.

Para escribir esto adentro lógica del predicado:

Por ejemplo, la relación “mayor que” es transitiva:

Si A > B, y B > C, entonces A > C.

Por ejemplo, “es mayor que,” “es por lo menos tan grande como,” y “es igual a” (igualdad) son las relaciones transitivas:

siempre que A > B y B > C, entonces también A > C

siempre que ≥ B de A y ≥ C, entonces también ≥ C de B de A

siempre que A = B y B = C, entonces también A = C

Por una cierta hora, los economistas y los filósofos creyeron que la preferencia era una relación transitiva sin embargo allí ahora es las teorías matemáticas que demuestran que las preferencias y otros resultados económicos significativos pueden ser modelados sin el recurso a esta asunción.

Por otra parte, “es la madre de” no es una relación transitiva, porque si Alicia es la madre de Brenda, y Brenda es la madre de Claire, después Alicia no es siempre la madre de Claire. Cuál es más, es antitransitive: Alicia puede nunca sea la madre de Claire.

Entonces otra vez, en biología necesitamos a menudo considerar maternidad sobre un número arbitrario de generaciones: la relación “es a matrilineal antepasado de ". Esto esuna relación transitiva. Más exacto, es encierro transitivo de la relación “está la madre de”.

Más ejemplos de relaciones transitivas:

“es a subconjunto de " (fije la inclusión)

“se divide” (divisibilidad)

“implica” (implicación)

Relación Simétrica

Una relación binaria R sobre un conjunto A, es simétrica cuando se da que si un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces ese otro también está relacionado con el primero.

Es decir, 

En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de simetría.

La aplicación de cualquier relación R sobre un conjunto A, se representa con el par ordenado (A, R).

Cuando una relación es lo opuesto a una simétrica, es decir, cuando se da que si un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces ese otro no está relacionado con el primero, entonces decimos que es asimétrica, lo que denotamos formalmente por:

En este caso, decimos que R cumple con la propiedad de asimetría.

Relaciones funcionales

Se dice que una magnitud o cantidad esta en función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda, estas situaciones se representan matemáticamente  de diversas formas, en diagramas de ven, gráficas, tablas de variables o funciones matemáticas. Una función es en si, un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el movimiento de un cuerpo.

Gracias a las relaciones funcionales en aplicación matemática podemos definir y resolver una cantidad infinita de problemas, gracias a sus creadores, René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz.

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