Relaciones: Ejercicios.

Ejemplos y ejercicios de Relaciones

Ejemplo 1
Sea A = {huevos, leche, maíz} y B = {vacas, cabras, gallinas}. Escribir la relación R  de A a B definida por:
(a, b) ∈ R ⇐⇒ a es producido por b

Solución

La relación sería:
R = {(huevos, gallinas), (leche, vacas), (leche, cabras)}

Ejemplo 2
(a) Sea R  la relación “menor que” definida en el conjunto Z de los números enteros. Escribiremos 3 < 5 para indicar que (3, 5) ∈ R  y 5 </ 3 para indicar que (3, 5) ∉ R

(b) Sea R  la relación “es un múltiplo de” en el conjunto de los enteros positivos.

Entonces, 4R 2 pero 2R / 4. Más generalmente, x R  y si, y sólo si x = ky para algún k ∈ Z+.

(c) Cuando un compilador traduce un programa informático construye una tabla de símbolos que contiene los nombres de los símbolos presentes en el programa, los atributos asociados a cada nombre y las sentencias de programa en las que están presentes cada uno de los nombres. Así pues, si S es el conjunto de los símbolos, A es el conjunto de los posibles atributos y P es el conjunto de las sentencias de programa, entonces la tabla de símbolos incluye información representada por las relaciones binarias de S a A y de S a P.

(d) Como dijimos anteriormente, una relación binaria sobre el conjunto de los números reales puede representarse gráficamente en el plano cartesiano. La figura siguiente es la gráfica de la relación

R = {(x, y) ∈ R  × R  : |x| + |y| = 1}

Ejercicio 4
Para los conjuntos U  = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 5}, determinar:

(a) |A × B|.

(b) El número de relaciones de A a B.

(c) El número de relaciones binarias en A.

(d) El número de relaciones de A a B que contengan al (1,2) y al (1,5).

(e) El número de relaciones de A a B que contengan exactamente cinco pares ordenados.

(f) El número de relaciones binarias en A que contengan siete elementos como mínimo.

Ejemplo 10
Consideremos en el conjunto Z de los números enteros las relaciones “menor o igual que” y “menor que”. Estudiar la reflexividad de ambas relaciones.

Solución

(a) “Menor o igual que”. a R  b ⇐⇒ a ≤ b

Sea a cualquier número entero, entonces
a = a
luego,
a = a ∨ a < a
es decir,
a ≤ a
por tanto,
∀a (a ∈ Z =⇒ a R  a)
Consecuentemente, la relación propuesta es reflexiva.

(b) “Menor que”. a R  b ⇐⇒ a < b.

Sea a cualquier número entero, entonces
a = a
es decir, a no es menor que a, de aquí que
a R / a
por tanto,
∃a: (a ∈ Z ∧ a R / a)
luego R no es una relación reflexiva.

Ejemplo 15
En el conjunto Z de los números enteros se considera la relación R definida por:
xR  y ⇐⇒ |x| = |y|
Estudiar la simetría y la antisimetría de R.

Solución

Si x e y son dos enteros cualesquiera, entonces
xR  y =⇒ |x| = |y| =⇒ |y| = |x| =⇒ yR  x
es decir la relación propuesta es simétrica.
Por otra parte, si x es un entero cualquiera distinto de cero, entonces
x ≠ −x y |x| = |−x| y |−x| = |x|
es decir,
(xR  (−x) ∧ (−x)R  x) ∧ x ≠ −x
luego R no es antisimétrica.

Para continuar resolviendo ejercicios y ver las soluciones a algunos puedes visitar: Apuntes de Matemáticas Discretas.

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