jueves, 27 de noviembre de 2014

Portada

Instituto Tecnológico de Querétaro
Ingeniería en sistemas computacionales.


 
Instituto Tecnológico de Querétaro


Matemáticas Discretas:
Relaciones y grafos.

Profesor: Nicolás Higareda Cisneros.

Integrantes:
Calderón Solorio Abraham
Camacho Hernández Gibran Hazael
Camacho Ramírez Alfredo
Jiménez Cuéllar Erick Daniel
Vega Balderas Julio César
Periodo Agosto-Diciembre 2014.


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Semblanza


Julio, Alfredo, Erick, Abraham, Gibran
Equipo 8.



Mi nombre es Julio Cesar Vega Balderas, nací en Querétaro y me gustan los idiomas, hace aproximadamente un semestre estaba estudiando Italiano en la Universidad Autónoma de Querétaro. Durante mi estancia en el Colegio de Bachilleres descubrí que la literatura es la vida que nace en la imaginación por lo que comencé a leer, a explorar libros y mundos para luego yo escribir alguno. Años antes, aprendí a tocar la guitarra  y hasta ahora la literatura y la música se han vuelto parte fundamental de mi vida. Ahora estoy estudiando una ingeniería en sistemas, siendo franco no creía ser aceptado en la carrera pero lo logré y ahora mi motivación es terminarla para así poder dedicarme, luego de tener una base económica, a hacer mis actividades predilectas, o sueños como nos gusta llamarles.

(Julio)


Alfredo Camacho Ramírez
Soy originario del municipio de Tolimán Querétaro, estudie la preparatoria en el COBAQ 6 de ahí mismo de Tolimán. Tengo 20 años y soy el mayor de 4 hermanos, actualmente estoy cursando el primer semestre de Ing. en sistemas computacionales en el ITQ. Me gusta salir y conocer nuevos lugares y mi pasatiempo favorito es escuchar música.(Alfredo)

Erick Daniel Jiménez Cuéllar
Soy Originario de Dolores Hidalgo Gto. C.I.N. tengo 18 años, mi fecha de nacimiento es 12 de enero de 1996 y estoy a punto de culminar mi primer semestre de la carrera de ingeniería en sistemas computacionales en el Instituto Tecnológico de Querétaro soy el ultimo de tres hermanos uno ya graduado de la carrera de sistemas computacionales de la misma institución y el otro estudiante de psicología educativa en la UAQ.                                                                                                       
Mis papas son Reyna Cuéllar Salazar y José Luis Jiménez Contreras ambos originarios de Dolores Hidalgo Gto.
Mi pasatiempo favorito es la música, me gusta tocar instrumentos musicales y cantar y me gusta mucho trabajar con computadoras, soy católico y  muy apegado a mi religión.
 (Erick)

Me llamo Abraham, tengo 19 años mi fecha de cumpleaños es el 21 de febrero, me gusta mucho patinar y también tocar la guitarra, actualmente estoy en dos bandas son: Bless The Mess y Blackmoonlight. La primera es genero metalcore y la segunda es power/heavy metal. Uno de los logros más importantes de mi vida fui haber asistido a la copa skate en mexico donde pude conocer a varios patinadores muy buenos, otro logro importante fue haber entrado al itq y mi meta será terminarlo y graduarme de ahí mismo. (Abraham)


Gibran Hazael Camacho Hernández
Soy Queretano, aunque toda mi familia es de San Luis Potosí.
No pertenezco a una religión o iglesia, pero me gustan mucho los cantos religiosos de todos lados.
Nací Vegetariano por decisión de mis padres y lo mantengo por decisión personal, y solo por curiosidad me he preguntado cómo sería yo y mí al rededor si comiera cárnicos, pero el aroma me parece desagradable.
Tengo 2 hermanos, uno es mi hermano mayor que cumple un año, 2 meses exactos antes que yo, ya que ambos cumplimos el 28, solo que él en marzo y yo en mayo, eso se me hace muy curioso.
Y mi hermana MaryPaz (mi mamá siempre la quiso llamar así) que se llama Paz Aurora, ella es hija de mi madre pero no de mi padre, desde que cumplió 3 meses no la he visto y ya debe tener como 9 o 10 años, cuando ella nació meses después mi madre falleció, en un accidente de carro (cayó en un barranco), llevaba a mi hermana en brazos, según los informes murió de forma instantánea y no sufrió, mi hermana que salió volando con ella sobrevivió gracias a que mi madre la cubrió con su cuerpo, se golpeó en un árbol.
(Gibran)


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Tabla de contenido


    Presentación:

  • Portada.
  • Semblanza del equipo.
  • Introducción.

    1. Temas:
    2. Relaciones.
    3. Ejemplos y ejercicios de relaciones.
    4. Teoría de Grafos.
    5. Ejercicios de Teoría de Grafos.
      Aportes:
    1. Reflexión.
    2. Conclusiones personales.
    3. Aportaciones.

    Introducción



    Gracias por visitar este blog, en él abarcaremos 2 temas que son importantes para el área de la computación e informática. Los temas que vamos abarcar serán relaciones matemáticas y Grafos.

    En matemáticas y ciencias de la computación, un grafo (del griego grafos: dibujo, imagen) es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto. Son objeto de estudio de la teoría de grafos.

    Relaciones matemáticas.

    Los tipos de relaciones son los siguientes:
    ·         Relación Reflexiva
    ·         Relación Transitiva
    ·         Relación Simétrica

    A continuación les hablaremos más a fondo de cada una de ellas asi como algunos ejemplos para que sea más entendible. Espero les sirva la información que compartimos para ustedes.



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    miércoles, 26 de noviembre de 2014

    Relaciones


    Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.

    Ejercicio
    Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas (par ordenado) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B
    Ejemplo
    Si A = {2, 3}  y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.
    Solución
    El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:
                                            A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}
    Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:
                                            R1 =  {(2, 1), (3, 1)}
                                            R2 =  {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
                                            R3 =  {(2, 4), (3, 5)}
    La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 =  {(x, y) / y = 1}.
    La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {(x, y) / x < y}
    Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 =  {(x,  y) / y = x + 2}
    Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y. Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.

    Relaciones: Ejercicios.

    Ejemplos y ejercicios de Relaciones


    Ejemplo 1
    Sea
    A = {huevos, leche, maíz} y B = {vacas, cabras, gallinas}. Escribir la relación R  de A a B definida por:
    (a, b)
    R ⇐⇒ a es producido por b
    Solución
    La relación sería:
    R = {(huevos, gallinas), (leche, vacas), (leche, cabras)}

    Ejemplo 2
    (a) Sea
    R  la relación “menor que” definida en el conjunto Z de los números enteros. Escribiremos 3 < 5 para indicar que (3, 5) R  y 5 </ 3 para indicar que (3, 5) R
    (b) Sea R  la relación “es un múltiplo de” en el conjunto de los enteros positivos.
    Entonces, 4R 2 pero 2R / 4. Más generalmente, x R  y si, y sólo si x = ky para algún k ∈ Z+.
    (c) Cuando un compilador traduce un programa informático construye una tabla de símbolos que contiene los nombres de los símbolos presentes en el programa, los atributos asociados a cada nombre y las sentencias de programa en las que están presentes cada uno de los nombres. Así pues, si S es el conjunto de los símbolos, A es el conjunto de los posibles atributos y P es el conjunto de las sentencias de programa, entonces la tabla de símbolos incluye información representada por las relaciones binarias de S a A y de S a P.
    (d) Como dijimos anteriormente, una relación binaria sobre el conjunto de los números reales puede representarse gráficamente en el plano cartesiano. La figura siguiente es la gráfica de la relación
    R = {(x, y) R  × R  : |x| + |y| = 1}


    Ejercicio 4
    Para los conjuntos
    U  = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 5}, determinar:
    (a) |A × B|.
    (b) El número de relaciones de A a B.
    (c) El número de relaciones binarias en A.
    (d) El número de relaciones de A a B que contengan al (1,2) y al (1,5).
    (e) El número de relaciones de A a B que contengan exactamente cinco pares ordenados.
    (f) El número de relaciones binarias en A que contengan siete elementos como mínimo.

    Teoría de Grafos

    Elementos y características de los grafos.



    Un grafo, G, es un par ordenado de V y A, donde V es el conjunto de vértices o nodos del grafo y A es un conjunto de pares de vértices, a estos también se les llama arcos o ejes del grafo. Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente a dos vértices. Los grafos representan conjuntos de objetos que no tienen restricción de relación entre ellos. Un grafo puede representar varias cosas de la realidad cotidiana, tales como mapas de carreteras, vías férreas, circuitos eléctricos, etc. La notación G = A (V, A) se utiliza comúnmente para identificar un grafo. Los grafos se constituyen principalmente de dos partes: las aristas, vértices y los caminos que pueda contener el mismo grafo.


    Composición de un grafo.

    Aristas :
    Son las líneas con las que se unen las aristas de un grafo y con la que se construyen también caminos. Si la arista carece de dirección se denota indistintamente {a, b} o {b, a}, siendo a y b los vértices que une. Si {a ,b} es una arista, a los vértices a y b se les llama sus extremos.
    • Aristas Adyacentes: Se dice que dos aristas son adyacentes si convergen en el mismo vértice.
    • Aristas Paralelas: Se dice que dos aristas son paralelas si vértice inicial y el final son el mismo.
    • Aristas Cíclicas: Arista que parte de un vértice para entrar en el mismo.
    • Cruce: Son dos aristas que cruzan en un punto. 
    Vértices :
    Son los puntos o nodos con los que esta conformado un grafo. Llamaremos grado de un vértice al número de aristas de las que es extremo. Se dice que un vértice es `par' o `impar' según lo sea su grado.
    • Vértices Adyacentes: si tenemos un par de vértices de un grafo (U, V) y si tenemos un arista que los une, entonces U y V son vértices adyacentes y se dice que U es el vértice inicial y V el vértice adyacente.
    • Vértice Aislado: Es un vértice de grado cero.
    • Vértice Terminal: Es un vértice de grado 1. 

    Tipos de grafos.

    Podemos clasificar los grafos en dos grupos: dirigidos y no dirigidos. En un grafo no dirigido el par de vértices que representa un arco no está ordenado. Por lo tanto, los pares (v1, v2) y (v2, v1) representan el mismo arco. En un grafo dirigido cada arco está representado por un par ordenado de vértices, de forma que y representan dos arcos diferentes.
    Ejemplo:
    G1 = (V1, A1)V1 = {1, 2, 3, 4} A1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}G2 = (V2, A2)V2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A2 = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 6)}G3 = (V3, A3)V3 = {1, 2, 3} A3 = { <1, 2>, <2, 1>, <2, 3> }
    Gráficamente estas tres estructuras de vértices y arcos se pueden representar de la siguiente manera:
    Hay también 6 tipos principales de grafos; simples, completos, bipartidos, planos, conexos y ponderados.
    Grafo simple. Se dice que el grafo G = (V, E) es un grafo simple de grado n si todos sus vértices tienen grado n.
    Grafo completo. Un grafo es completo si cada par de vértices está unido por una arista. Se denota por Kn al grafo completo de n vértices. Ejemplos
    Grafo bipartido. Un grafo es bipartido si V=V1?V2 y cada arista de E une un vértice de V1 y otro de V2
    -Grafo bipartido completo
    .Un grafo es bipartido completo si V=V1?V2 y dos vértices de V están unidos por una arista de E si y solo si un vértice está en V1 y el otro en V2. Se denota por Kr,sal grafo bipartido completo donde V1 tiene r vértices y V2 tiene s vértices
    Grafos planos. Un grafo plano es aquel que puede ser dibujado en el plano sin que ninguna arista se interseque.
    Grafos conexos. Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b
    Grafo ponderado. Un grafo es ponderado si presenta los pesos de cada arista y se puede determinar la longitud de una ruta, la cual es la suma de todos los pesos de las aristas.

    Grafos: Ejercicios.

    Ejercicios de grafos Ejercicios de Teoría de Grafos
    VERDADERO O FALSO: PREGUNTAS DE TEORÍA DE GRAFOS

    Un grafo bipartito completo puede tener una clique. V 
    Un dígrafo es un grafo con no más de dos aristas entre cada par de vértices. F, es un grafo dirigido. 
    Dos grafos son isomorfos entre sí cuando presentan tanto mismo número de vértices como de aristas. F, deben poseer, además, igual conexión de vértices. 
    Un p-grafo es un grafo regular de grado p. F, donde al menos un par de vértices se encuentra conectado por tres aristas. 
    Todo grafo hamiltoneano es biconvexo, luego todo grafo que no sea biconvexo no puede ser hamiltoneano. V 
    Un grafo es bipartito si y sólo si todo ciclo en el grafo tiene longitud par. F, puede no tener ciclo. 
    Un sub grafo generado puede tener aristas distintas del grafo original. F, poda arista que posea debe pertenecer al grafo original. 
    Un sub grafo inducido puede tener aristas distintas del grafo original. F, poda arista que posea debe pertenecer al grafo original. 
    El orden de un grafo corresponde al número total de vértices del mismo. V 
    Circuito es igual a ciclo. F, en el ciclo el primer vértice del conjunto es igual al último, en un circuito no. 
    Loop es un circuito de longitud 1.V 
    El complemento de un grafo totalmente desconexo es siempre una clique. V 
    Un grafo bipartito completo posee un número par de vértices. F 
    Un grafo planar es aquel en que no existe entrecruzamiento de aristas. F, es el que puede ser representado sin entrecruzamiento de aristas. 
    Un grafo conectado con un número mínimo de aristas es un árbol. V 
    El grado de un vértice en un dígrafo es la cantidad de arcos que salen de él menos los que llegan. F, los que salen menos los que llegan. 
    Un grafo bipartito con más de 5 vértices no puede ser planar. V 
    El complemento de un grafo conexo no puede tener ciclo hamiltoneano. F, si puede tener C.H. 
    Un grafo conexo no puede tener conjunto independiente. Todo grafo conexo tiene conjunto independiente de vértices. 
    Un grafo desconexo pude ser bipartito. V 
     No existe relación entre un grafo completo y una clique. F, Una clique es un subgrafo completo. 


    Para ver más ejercicios de la Teoría de Grafos da clic aquí.También puedes consultar ejercicios resueltos sobre Árboles y Grafos.

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    martes, 25 de noviembre de 2014

    Reflexión:

    Consideramos que este tipo de cosas son un factor muy importante en la formación de un ingeniero en sistemas ya que el tema de relaciones, grafos y bueno, las matemáticas discretas en general ayudan a que el estudiante valla desarrollando  cada vez más y más su lógica lo cual es indispensable para el trabajo del ingeniero en sistemas ya que como ingenieros en sistemas, si  piden resolver algún problema, debe ver no solo lo que se ve a simple vista si no debe ver desde otro punto las cosas, debe razonar más debido al tipo de formación que lleva. En resumen creemos que es excelente que el ingeniero en sistemas siga recibiendo en su formación las matemáticas discretas.


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    Conclusiones:

    A mi punto de vista estos temas son importantes para el área de sistemas computacionales ya que  en relaciones son orden y divisibilidad entre números, las relaciones de equivalencia entre los datos de entrada de un programa en cuanto a la detección de posibles errores de programación, la relación de dependencia entre las distintas fases producción en una industria o la agrupación de datos aislados en complejas bases de datos con relaciones de dependencia entre sus campos. Así como  los grafos permiten estudiar las interrelaciones entre unidades que interactúan unas con otras. Por ejemplo, una red de computadoras puede representarse y estudiarse mediante un grafo, en el cual los vértices representan terminales y las aristas representan conexiones.
    Por: Abraham Calderon Solorio




    Creo que este trabajo es muy interesante y al hacerlo uno puede pensar que este tipo de cosas no sirve para nada que es solo un trabajo más que hacer en la escuela, pero si nos ponemos a pensar un poco nos daremos cuenta de que este tipo de cosas es el que ayuda al desarrollo de nuestra lógica como ingenieros nos ayuda a poder ver desde otro ángulo las cosas y, ya no ver solo lo que se ve a simple vista de algo si no ver más allá de ese algo y gracias a este tipo de información es como podemos desarrollar este dicho talento.
    Por: Erick Daniel Jiménez Cuéllar.



    Mi conclusión sobre la creación de este blog es que yo creo que es muy importante ya que en él se está publicando información de una de las materias fundamentales para un estudiante de ingeniería en sistemas que es matemáticas discretas, abarcando los temas de relaciones y teoría de grafos. Estos dos temas son muy importantes en el desarrollo de nuestra carrera ya que nos serán de gran utilidad en varios cursos posteriores  y en la práctica profesional cuando ya egresemos. Al realizar este trabajo por medio de un blog me parece una buena idea ya que pues estará en internet y pues en la actualidad es el medio de consulta de información más utilizado por todos y pues así será más fácil que otras personas accedan a él.
    Por: Alfredo Camacho Ramírez 





    Ampliar la visión de los posibles caminos a seguir cuando se requiere resolver un problema creo que es la finalidad de las matemáticas discretas pues desentraña lo que parece ininteligible; en los temas que aquí se mencionan se muestra la metodología para entender y desarrollar relaciones y conexiones entre elementos cualquiera, o para visualizar las redes o bases de datos para su posterior digitalización; es amplio el campo de aplicación de estos temas pero todos tienen en común la intención de representar trabajos o fenómenos para su análisis y posteriormente llevar a la práctica ideas o proyectos derivados del análisis o problema que se necesite resolver. Para desarrollar la habilidad de resolución o representación de conflictos sólo hace falta entender el tema y usar la perspicacia que caracteriza a un ingeniero.
    Por: Julio César Vega Balderas

    Los blog's varían mucho en la información que proporcionan, y muy pocos son útiles, o transcendentales, al realizar esta actividad obtenemos diferentes conocimientos, principalmente en el cómo construir y desarrollar un blog, algo que muchos conocemos pero que jamás habíamos pasado de verlos y visitarlos en su mayoría, y tener el conocimiento de cómo crear un blog y la forma más adecuada de hacerlo, aparte se ser un trabajo de temas muy interesante, sólo necesitamos hacer la mejor selección de información.
    Por: Gibran Hazael Camacho Hernández.



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    sábado, 15 de noviembre de 2014

    Aportaciones.

    Los temas que aquí se abordan tienen fines prácticos y son utilizados en grandes empresas, por ejemplo Google, para dar una noción de la utilidad de las relaciones y los grafos te invitamos a ver este video que explica el proceso que se efectúa cuando se usa el buscador de Google, esperamos que te acerque a la noción práctica de estos temas.