Relaciones

Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.

Ejercicio

Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas (par ordenado) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B

Ejemplo

Si A = {2, 3}  y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.

Solución

El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:

                                        A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}

Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:

                                        R1 =  {(2, 1), (3, 1)}

                                        R2 =  {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

                                        R3 =  {(2, 4), (3, 5)}

La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 =  {(x, y) / y = 1}.

La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {(x, y) / x < y}

Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 =  {(x,  y) / y = x + 2}

Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y. Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.

Relaciones: Ejercicios.

Ejemplos y ejercicios de Relaciones

Ejemplo 1
Sea A = {huevos, leche, maíz} y B = {vacas, cabras, gallinas}. Escribir la relación R  de A a B definida por:
(a, b) ∈ R ⇐⇒ a es producido por b

Solución

La relación sería:
R = {(huevos, gallinas), (leche, vacas), (leche, cabras)}

Ejemplo 2
(a) Sea R  la relación “menor que” definida en el conjunto Z de los números enteros. Escribiremos 3 < 5 para indicar que (3, 5) ∈ R  y 5 </ 3 para indicar que (3, 5) ∉ R

(b) Sea R  la relación “es un múltiplo de” en el conjunto de los enteros positivos.

Entonces, 4R 2 pero 2R / 4. Más generalmente, x R  y si, y sólo si x = ky para algún k ∈ Z+.

(c) Cuando un compilador traduce un programa informático construye una tabla de símbolos que contiene los nombres de los símbolos presentes en el programa, los atributos asociados a cada nombre y las sentencias de programa en las que están presentes cada uno de los nombres. Así pues, si S es el conjunto de los símbolos, A es el conjunto de los posibles atributos y P es el conjunto de las sentencias de programa, entonces la tabla de símbolos incluye información representada por las relaciones binarias de S a A y de S a P.

(d) Como dijimos anteriormente, una relación binaria sobre el conjunto de los números reales puede representarse gráficamente en el plano cartesiano. La figura siguiente es la gráfica de la relación

R = {(x, y) ∈ R  × R  : |x| + |y| = 1}

Ejercicio 4
Para los conjuntos U  = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 5}, determinar:

(a) |A × B|.

(b) El número de relaciones de A a B.

(c) El número de relaciones binarias en A.

(d) El número de relaciones de A a B que contengan al (1,2) y al (1,5).

(e) El número de relaciones de A a B que contengan exactamente cinco pares ordenados.

(f) El número de relaciones binarias en A que contengan siete elementos como mínimo.